נייר עמדה בנושא

קידום הוראת המתמטיקה בחטיבת הביניים

 

תכנית הלימודים במתמטיקה לחטה"ב

 

רציונאל

הערות לגבי מצב תכניות הלימוד במתמטיקה (סילבוס) בארץ

כיום, תכניות הלימוד (הסילבוסים) המחייבות של משרד החינוך, בעיקר אלו של חטה"ב והחטיבה העליונה, מפרטות בעיקר רשימות תכנים, ללא הרבה קישור וללא הדגשת ממדים נוספים.  תכניות כאלו משדרות הן לכותבי חומרי לימוד מסוימים, ובעיקר למורה ולמערכת בתוכה הוא פועל, כי החשיבות האמיתית בהוראת מתמטיקה היא שליטה במיומנויות לשמן ובפתרון בעיות הגזורות לפי תבניות ידועות.  כלומר, מתמטיקה הלוקה בפרגמנטציה ונתונה במגרות.  ואכן רוב ספרי הלימוד במתמטיקה הנלמדים בארץ, הם ספרי תרגול של מיומנויות ללא דגש על הבנה ויכולת טיעון מתמטי. וזאת למרות אי-הנחת מכך של חלק מהתלמידים והמורים עצמם.

 

בעולם קיימות דוגמאות בעלות אופי שונה לחלוטין.  למשל, ה- (1989) Standards 

וה- (2000) Standards and Principles של הארגון של המורים למתמטיקה בארה"ב (NCTM), המשלבים, זה בצד זה, סטנדרטים כמו "הסבר מתמטי", "דרכי פתרון בעיה", "מתמטיקה כתקשורת" ו"קשרים מתמטיים", וסטנדרטים תכניים יותר הקשורים באלגברה, באריתמטיקה, בגיאומטריה, במדידה וכד'...

הנחיות כאלה מציבות סטנדרטים הן לכותב ספר הלימוד והן למורה לגבי אופי המתמטיקה הנלמדת.

בנוסף לכך קיים בארץ נתק מסוים בין תכניות הלימודים במתמטיקה בשלוש החטיבות, ופעולות ההטמעה שלהן.  אנו איננו רואים את הוראת המתמטיקה בחטה"ב, את פיתוח חומרי הלימוד, ואת תהליכי ההטמעה, הכוללים את הכשרת המורים למתמטיקה בחטה"ב ותמיכה בהוראתם, כתהליך העומד בפני עצמו, אלא כקשור ונמצא ברצף אחד עם הוראת המתמטיקה בביה"ס היסודי ובחטה"ע.

 

התפיסה לגבי תכנית הלימודים במתמטיקה ומטרותיה (בחטה"ב)

-      מתמטיקה הוא מקצוע מרכזי בלימודים בחטה"ב.  התלמיד לומד מתמטיקה כ- 5 שעות שבועיות במשך כל שלוש השנים, על התכנית לשקף הן מושגים ותכנים יסודיים והן תהליכי חשיבה מרכזיים במתמטיקה.

-      כל האוכלוסייה בחטה"ב לומדת מתמטיקה.  מטרת התכנית לכן היא להיות מכוונת לכל התלמידים, תוך הצבת ציפיות גבוהות מכולם ומתן הזדמנויות שוות לכולם מצד אחד, אך תוך מודעות והתחשבות בהבדלים בין יחידים וקבוצות בתוך הכיתה, בתוך ביה"ס ובתוך המערכת כולה.  כלומר, על התכנית והטמעתה להציע דרכים לתמיכה המותאמת לצרכים של קבוצות ויחידים שונים.

-      על התכנית לקחת בחשבון את השימוש בכלים טכנולוגיים כמתווכים בהוראת ולמידת מתמטיקה. השימוש בכלים ממוחשבים מתגבר את המושגים והתהליכים המתמטיים הנלמדים, משנה תכנים וגישות בהוראת המתמטיקה, נותן מענה לקידום ולצרכים של הקבוצות השונות והיחידים.

-      ההוראה תתבסס על ידע של המורה והבנה לגבי טבע המתמטיקה שמציעה התכנית, לגבי הידע של התלמיד, תהליכי הלמידה שלו ותהליכים של נטילת אחריות של התלמיד לתהליך למידתו, לגבי דרכי ההוראה ולגבי היתרונות של השימוש באמצעים שונים.  הוראה כזו מחייבת פעמים רבות שינויים בארגון של מבנה ההוראה ומבנה הכיתה.

-      הלמידה תתבסס על הבנה של תהליכים ופעולות מתמטיות, בניגוד לשינון עובדות ופעילות ללא הבנה, תוך כדי קבלת אחריות של תלמידים ללמידה. 

אנו רואים בתכנית הלימודים במתמטיקה מסמך הלוקח בחשבון את הנקודות הנ"ל ונקודות נוספות, ומצביע על כיוונים הנותנים מענה להן.

אנו רואים במונח תכנית לימודים במתמטיקה ככולל הן את הרצף של תכנים ומושגים יסודיים, הן תהליכי חשיבה במתמטיקה והיכולת לבטאם בטיעונים והסברים מתמטיים, והן את הגישות להוראה וארגונה. 

ברור לנו כי הכנת תכנית כזו הבנויה לפי סטנדרטים שונים ומגלמת בתוכה רב ממדיות, אשר תהיה בהירה למורים ולמפתחי חומרי הלימוד, היא עבודה רבה ונמצאת מחוץ למגבלות הזמן של הכנת מסמך זה.  ועדה הדנה בתכנית חטה"ב החלה לעבוד לפני מספר חודשים.  פירות ראשונים של עבודתה, המבטאים גישה הלוקחת בחשבון ממדים רבים כנ"ל בעיצוב התכנית הם כבר בנמצא.  מספר חברים בוועדה זו שותפים גם לכתיבת מסמך זה.

מספר נקודות כלליות שהועלו על ידי "הוועדה של תכנית חטה"ב ו/או על ידי הצוות השוקד על הכנת סעיף זה, ומגלמות את הרעיונות המרכזיים הרלוונטיים (Big ideas) יובאו להלן:

 

עקרונות וסטנדרטים כלליים לתכנית הלימודים במתמטיקה בחטה"ב

-     בניית התוכנית לפי "היבטים מתמטיים – דידקטיים" ברורים, אשר מתוכם נגזרים הן המושגים, הן תהליכי החשיבה, והן הגישות להוראה ולארגונה.

-     למידת מתמטיקה המדגישה הבנה, חקר ותהליכים מתמטיים

-     אלגוריתמים ומניפולציות מתמטיות ככלי עזר לפתרון בעיות, תוך הבנת התהליכים המתמטיים שבבסיסן של הפעולות האלגוריתמיות.  (ראה ספרה של ליפינג-מא).

-     קישוריות בין נושאים שונים בתוך המתמטיקה וכן בין מתמטיקה ושטחים אחרים.

-     שימוש נכון בכלים ממוחשבים הינו גורם חשוב של שינוי תכנים ו/או גישות בהוראה ולמידה של מתמטיקה ברוח העקרונות שנמנו לעיל.

-     שילוב דרכי הוראה ולמידה הלוקחות בחשבון, את כל הנקודות המרכזיות שהועלו לעיל.

-     שילוב דרכי הוראה ולמידה הלוקחות בחשבון את הטרוגניות הכיתה וההבדלים בין תלמידים שונים בתוכה.

 

הוועדה לתכנית חטה"ב בחרה להציג את העקרונות והרעיונות המרכזיים בתכנית הלימודים לחטה"ב במטריצות מארגנות (לאלגברה, לגיאומטריה וכנראה אף סטטיסטיקה והסתברות, המתארות כל אחת בעיקר שני ממדים.)

הממד המושגי התכני: כפי שהוא מתבטא בנושאים המתמטיים המרכזיים (ראה הטור הראשון מימין במטריצה של האלגברה בעמוד הבא).

הממד המבטא תהליכים ופעולות מתמטיות: (המפורטים בשורה שבראש המטריצה ראה המטריצה של האלגברה המצורפת), אשר על התלמיד לעבור ולהתנסות בהם תוך כדי לימודו את הנושאים השונים והם משותפים לנושאים ומושגים רבים.

 

בעמוד הבא מצורפת ההצעה של המטריצה – המארגנת של לימודי האלגברה בכיתות ז' – ט' ותאורה:

כל אחד מהמושגים והנושאים המרכזיים (ראה א' – י' בטור הימני) יובא באופן מפורט יותר במספר אופנים:

האחד: פירוט נוסף של מטרות ותכני השורה המתאימה לו.

השני: פירוט נוסף של מטרות ואפיוני הטורים בהקשר לשורה הזו.

השלישי: הבאת דוגמאות בתאים ומשבצות שונות בטבלה, המדגימות את השילוב של המטרות והתכנים עם התהליכים והפעולות המתמטיות, תוך הצבעה על שיטות ההוראה והלמידה המתאימות, ושילוב הכלים הטכנולוגיים.

הרביעי: קישוריות של הנושא עם נושאים אחרים בתחום זה, בתחומים אחרים של המתמטיקה, ובתחומים שונים אחרים (מדע וכד').

המטריצה המתאימה להוראת גיאומטריה לא הוכנה עדיין.  העקרונות והרעיונות המרכזיים אשר נראים לצוות הם:

-    הוראת גיאומטריה המדגישה תהליכים אינדוקטיביים של חקר וגילוי התכונות של צורות גיאומטריות וקשרים ביניהם, בסביבה שבה ניתן לבחון דוגמאות רבות של הצורה הגיאומטרית (למשל סביבת מחשב של גיאומטריה דינאמית), תוך העלאת השערות כהכללות ובדיקתן – כולל הפרכה ע"י דוגמה ואישור אינדוקטיבי.

-      תהליכים דדוקטיביים של הסבר והוכחה, כאשר ההוכחה משמשת ככלי להסבר מדוע התכונות הגיאומטריות שנתגלו בתהליכים האינדוקטיביים הנ"ל הן נכונות (אינן נכונות) תמיד.

 


מטריצה להכנת תכנית לאלגברה ופונקציות בחטה"ב

פעולות ומניפולציות

(עם ובלי טכנולוגיה)

חשיבה ארגומנטציה

מתמטיזציה

 

 

שימוש ובניית מודלים:

 

 

ויזואליות

 

12

גרפיות

 

11

סימבוליות

 

10

על מספרים

9

הוכחות

 

8

נימוקים

 

7

הכללות

 

6

השערות

 

5

אלגברי

 

4

נומרי

 

3

גרפי

 

2

משתנים, כמויות וקשרים בסיטואציה

1

תכנים ומושגים יסודיים

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ניתוח תופעות *

·                    קצב השתנות

·                    תכונות patterns

·                    תכונות ומבנים מספריים

א

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

השוואה בין תופעות בקצבי השתנות שונים*

ב

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

מבנים מספריים ואלגבריים

ג

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

משפחות של תופעות ופונקציות מסוגים שונים**

ד

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

פונקציות לינאריות

ה

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

שקילות ליניארית משוואות ואי שוויונים במשתנה אחד

   ו

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

משוואות עם יותר ממשתנה אחד

ז

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

פונקציות ריבועיות

ח

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

משוואות ריבועיות שקולות

ט

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

פונקציות מעריכיות וחוקי חזקה **

י

 

 

     *  מומלץ טכנולוגיה         ** מבוסס טכנולוגיה

 

 


הערות כלליות לגבי הטמעת התכנית

ברור לנו כי בכדי שלתכנית וכן להצעות ולהמלצות לשיפורים ולשינויים תהיה השפעה יש לכרוך את ביצוען במספר פעולות מלוות והן:

א)   מסר ברור לקהילה - חשוב שיועבר מסר ברור, מן הגופים השונים במערכת החינוך, למפתחי החומרים לתכניות הלימודים, למורים, למורי המורים, למדריכים, מנהלים, מפקחים וכד', באשר לשינויים או למדיניות הקשורה בהוראת המתמטיקה שתוצע.

ב)    פעולות של תמיכה שילוו את ביצוע השינוי.  למשל, תמיכה בפיתוח חומרי לימוד מתאימים ובהטמעתם בכיתות, ותמיכה במורה בתוך ביה"ס בעת ביצוע השינוי.

ג)     מסרים מחייבים - חשוב כי התהליכים המוצעים יהיו מלווים במסרים המחייבים את מפתחי החומרים, מערכת בתי הספר והמורים.  וזאת מבלי לפגוע באוטונומיה של ביה"ס, צוות מורים והמורה הבודד, בתכנון ההוראה.  מסרים של שינוי שאינם מחייבים, אינם מתבצעים בד"כ או מתבצעים רק במידה מועטה.  (במערכת החינוך בארץ, יש דוגמאות רבות של שינויים שהתבצעו כיוון שהיו מחייבים.  למשל – לימוד לפי תכנית מתמטיקה חדשה לגמרי בחטה"ב (מתחילת חטה"ב לפני 30 שנה ויותר), שגרם לכך כי אלגברה מלמדים כיום מתחילת כיתה ז' ולא מתחילת כיתה ט' כפי שהיה נהוג בעבר.

 

המלצות

ההמלצות הבאות מחולקות לשניים.

.I          המלצות פדגוגיות ותכניות הקשורות לדרך הוראת המתמטיקה בביה"ס.

.II          המלצות ארגוניות.

 

.I          המלצות פדגוגיות ותכניות הקשורות לדרכי הוראת המתמטיקה – (מכוונות בעיקר אל מפתחי תכניות הלימודים, מורים, רכזים, מדריכים וכד'...)

*           למידת מתמטיקה המכוונת לעבודה המותאמת לשוני שבין יחידים וקבוצות בכיתה.

*           הוראת מתמטיקה הרואה את התלמיד במרכז, משלבת סיטואציות הקרובות לתלמיד והתנסויות, צומחת מידע קודם ונותנת הזדמנות לבנייה אינטואיטיבית של מושגים ותהליכים, לפני הגיבוש הפורמלי שלהם.

*           הוראה ולמידה הנעשות באופן ספירלי, תוך שימת דגש על יצירת קשרים בין הנושאים המתמטיים השונים ובין נושאים מתמטיים לנושאים שונים אחרים.

*           הוראה המדגישה את יכולת הטיעון המתמטי תוך כדי שיח קבוצתי ובמליאת הכיתה.

*           הוראה המשלבת כלים ממוחשבים ברוח ההמלצות העקרוניות לעיל.

*           הוראה המעודדת תלמידים בודדים, זוגות, או קבוצות קטנות, לעשיית פרוייקטים מתמטיים.

*           הערכת התלמידים נעשית באופן המשקף את דרכי ההוראה והלמידה.

 

.II         המלצות ארגוניות לקובעי המדיניות והאחראים לביצועה (משרד החינוך, המחוז, המרכז האזורי, ביה"ס)

המלצות לגבי הוראה בחטה"ב

*           אנו ממליצים על הקמת ועדה אשר בה יהיה ייצוג למורים, מפתחי חומרי לימוד, מתמטיקאים, אנשי אקדמיה בחינוך המתמטי, ואנשי משרד החינוך, שתסקור את חומרי הלימוד הקיימים ותאשר את אלו המתאימים לרוח התכנית החדשה.  רשימה של חומרים אלה תסופק לבתי הספר באופן מיידי, עוד לפני שהתכנית תוצא לאור פורמלית.  אותה ועדה גם תמליץ על פיתוח נוסף באותם נושאים (על פי אותם סטנדרטים) שלא כוסו על ידי חומרים קיימים ועל פיתוח נוסף בכלל.

*           המורים בחטיבות הביניים יחויבו ללמד לפי תכנית הלימודים החדשה (כאשר זו תושלם).  כאשר למורה ולביה"ס תשאר האוטונומיה לבחור את החומרים מהם ילמד ואת סדר ההוראה.

            (מורי חטיבות הביניים יראו עצמם מחוייבים לתכנית הלימודים הארצית שתקבע, כולל העקרונות שנזכרו לעיל ושיהיו יסוד לתכנית, ולא כמחוייבים לדרישות אזוריות או מקומיות המוטלות עליהם על ידי מורי המתמטיקה בחטיבה העליונה.)

*           תוקם מערכת המציעה הדרכה ותמיכה במורים בתוך בית ספרם, במרכזים האזוריים, ובמרכזים שבהם מפתחים חומרי לימוד לצורך הטמעת התכנית החדשה.  בעיקר חשובה התמיכה לאורך השנה.  יש אפוא להקצות משאבים באופן מיידי להפעלת מדריכים בית ספריים, לאפשר תנאי הדרכה בתוך ביה"ס והאזור ולתגמל את המורים המודרכים. עבודה של מדריך – מלווה מול בית ספר חשובה ביותר.

*           בנוסף לכך אנו ממליצים על פיתוח חומרי הדרכה למדריכים ברוח התכנית.

המלצות לגבי הוראה בחטה"ע

*           אנו מציעים כי תוקם ועדה אשר תשקוד על הכנת תכנית מתמטיקה לחטה"ע שאף היא לוקחת בחשבון בנוסף לתכנים, גם עקרונות וסטנדרטים, ואשר תהיה המשך רציף של התכניות לביה"ס היסודי ולחטה"ב.  בעקבות זה אנו ממליצים על שינויים בבחינות הבגרות שישקפו את רוח תכניות הלימודים החדשות.  השינויים ינתנו במבחנים אופציונליים למשך שלוש שנים ואחר כך יחייבו את כל המבחנים והנבחנים.

המלצות לגבי רצף לימודי המתמטיקה בין החטיבות השונות

באופן כללי אנו ממליצים על הוראה הלוקחת בחשבון את התלמיד במרכז לכל אורך לימוד המתמטיקה בביה"ס, ומיישמת את כל העקרונות שנמנו לעיל.

להלן מספר המלצות המתחייבות מכך:

*           כדי שהתלמיד לא יעבור זעזועים מרובים במעברים בין החטיבות השונות, אנו מציעים שלא לקיים מבחני מיון כלליים אזוריים או בית ספריים ולסמוך על דעת מורה המתמטיקה בחטיבה אשר ממנה בא התלמיד.

             *    רצוי כי צוות המורים למתמטיקה בבית הספר השש-שנתי יעבוד כצוות אחד, יתכנן במשותף את מהלך ההוראה וההערכה לאורך חטיבת הביניים והחטיבה העליונה, בהתאמה לתכנית הלימודים החדשה. רצוי לעודד מורים ללמד בשתי החטיבות, דבר שייצור מחויבות ואחריות משותפות ללמידת התלמידים.

בנוסף, אנו ממליצים לקיים סדנאות משותפות של מורי חטיבת הביניים ומורי החטיבה העליונה.  סדנאות אלה יעסקו בנושאים מתמטיים קוריקולריים, בדרכי הערכה, בקשיים קוגניטיביים בלמידת מתמטיקה, דרכי פתרון שונות שהוצעו על ידי תלמידים וכדומה.

*           יטופחו הקשרים בין מורי המתמטיקה בחטיבת הביניים ובבית הספר היסודי באמצעות ביקורים הדדיים בשיעורים המלווים בדיון, רפלקציה והפקת לקחים לאחר השיעור.

*          המלצה כללית: יטופחו הקשרים התכניים והארגוניים בין מסגרות שונות:

           -   תיאום ועבודה משותפת של מורי המורים (pre-service) , המדריכים

                 in-service)), מפתחי חומרי הלימודים לפי התכנים והגישות הכלולות בתכנית

                   הלימודים, מתמטיקאים, מפקחים ומנהלים.