5. ניתוח סיטואציות כיתתיות: אינטראקציות מורה-תלמידים

5.3. שני שיעורים בגיאומטריה אנליטית בכיתה י'.

הכיתה המתוארת היא הקבצת מב"ר, בבי"ס מקיף עירוני גדול במרכז הארץ. בכיתה כ- 10 תלמידים (הנוכחות משתנה משיעור לשיעור, בשל הרחקות על רקע משמעת ובעיות אחרות). תלמידי הכיתה יושבים על פי רוב בזוגות או בשלשות. התרשמנו כי כחמישה מהם אקטיביים במהלך השיעורים, והיתר מגלים אדישות כלפי הנלמד בכיתה, וחלקם אף מפריע למהלך התקין של השיעור. למרות זאת, כפי שנראה להלן, מצליחה המורה רוב הזמן לקדם את העשייה וההבנה המתמטית של חלק ניכר מתלמידיה. כמה מן התופעות שעמד עליהן חזן (Chazan, 2000) מודגמות היטב בכיתה זו.

התלמידים לומדים גיאומטריה אנליטית בעזרת הספר העוסק בנושא זה מסדרת ש"י שפותח בקבוצת המתמטיקה (על העקרונות המנחים של סדרה זו ראה בסקירת הספרות). ביקורינו בכיתה התקיימו לקראת סוף שנת הלימודים תשס"ב. מתוך ארבעת השיעורים בהם צפינו, נתאר להלן שניים המייצגים את אסטרטגיות ההוראה בהם נוקטת המורה. 

השיעור הראשון שנתאר עסק בנושא: כתיבת משוואת ישר כאשר נתונים נקודה ושיפוע.

התלמידים למדו בשיעורים קודמים את מושג השיפוע, כאשר הדגש הושם על ההיבט הויזואלי (קביעת השיפוע בעזרת ספירת משבצות כלפי מעלה או מטה, כאשר זזים ימינה משבצת אחת). לאחר מכן קוּשר ייצוג זה של השיפוע לייצוגו כמקדם ה- x במשוואת הישר. באותו אופן, למדו התלמידים לזהות ויזואלית את נקודת החיתוך של הישר עם ציר y, ולאחר מכן להשתמש בנקודה זו לצורך קביעת המשוואה. מטרת השיעור הנוכחי היתה לבסס בעזרת דוגמאות נוספות את תהליך מציאת המשוואה, וכמו כן להגיע לדרכים אלגבריות ולא גרפיות למציאת ישר בהינתן שיפוע ונקודה. להלן נתאר את שלושת חלקי השיעור. 

א. עבודה עצמית.

בתחילת השיעור קיבלו התלמידים דף לעבודה עצמית ובו תרגילים בנושא. המראיינת הסתובבה בכיתה וביצעה תצפיות מתערבות על תלמידים שונים (ביניהם נעם, ירדן ונאוה המוכרים לנו מפרק הממצאים הקודם על אינטראקציות בין תלמידים):

נאוה עבדה על סדרת התרגילים הבאה -

       א.         שרטט ישר ששיפועו 2 והוא עובר דרך (0,3). מה משוואתו?

       ב.         שרטט ישר נוסף ששיפועו 2 והוא עובר דרך (1,7). מה משוואתו?

        ג.          נסה "לאמוד" היכן יחתוך את ציר y ישר ששיפועו 2 אם הוא עובר דרך (3,15). רשום משוואה.

נאוה פתרה את סעיפים א' וב' בקלות, כאשר היא מוצאת את התשובה בעזרת שרטוט (סימון הנקודה, בנייה - בעזרת ספירת משבצות - של ישר בעל שיפוע 2 העובר דרכה, מציאת נקודת החיתוך של הישר עם ציר y, שבמקרה הראשון היא הנקודה הנתונה, וקביעת ערך המספר החופשי במשוואה מתוך קריאת נקודת חיתוך זו). כשהגיעה לסעיף ג' הניחה את העט והפסיקה לעבוד. משנשאלה מדוע, ענתה שלא הבינה את הניסוח, ושאלה מה זה "נסה לאמוד". בתגובה יעצה לה המראיינת לקרוא את המשך השאלה ולהתעלם משתי המילים הללו, כלומר: "היכן יחתוך את ציר y ישר ששיפועו 2 אם הוא עובר דרך (3,15)?"  נאוה שרטטה זאת ופתרה מיד.

זוהי דוגמא לקושי שנוצר כאשר אי הבנת הנקרא מעכבת את הפעולה המתמטית, שהיא כשלעצמה ברורה לתלמיד. חזן (שם) מנה קושי זה כאחד המאפיינים של תלמידים חלשים. אחת הדרכים להתגבר על כך היא שימוש בשפה פשוטה וצמצום ה"העמסה" של מונחים טכניים על התלמיד.    

סעיף ב' נפתר נכון גם על ידי חבריה לשולחן של נאוה: נעם וירדן. תשובתם היתה שהמשוואה היא y = 2x+5, משום שנקודת החיתוך עם ציר y היא (0,5). שלושת התלמידים נשאלו על ידי המראיינת כיצד ידעו שהישר יחתוך את ציר y ב-    (0,5), והשיבו - לפי השרטוט, כלומר משסומנה הנקודה (1,7), ושורטט ישר דרכה ששיפועו (על פי ספירת משבצות) הוא 2, רואים שנקודת החיתוך היא 5. אז נשאלו התלמידים האם זה לא יכול להיות אולי 5.5 או 4.9, מפני שיתכן שהשרטוט לא מדויק. התלמידים חשבו על כך, ולבסוף אמר נעם: כי הולכים 2 אחורה מ- 7 ומגיעים לחמש. כלומר, בפירוש ניכרת כאן העבודה צמודת המשמעות על המושגים הנלמדים. נציין עוד, כי השאלה עניינה את שלושת התלמידים עד כדי כך שלא רצו לצאת להפסקה. גם מפרט קטן זה אפשר ללמוד שאין זה בלתי אפשרי לגרות תלמידים חלשים להתעניין בחומר.  כבר ציינו לגבי השיעור שתואר קודם בכיתה ט', כי גם שם ניגש תלמיד למורה בהפסקה והעלה רעיון שחשב עליו לגבי התוכן הנלמד.  

ב. דיון במליאה המתייחס לתרגילים שנפתרו ולתרגיל הבא.

לאחר שהתלמידים פתרו את התרגילים, סיכמה המורה את העבודה במליאה על ידי השאלה - מה ההבדל בין סעיפים א' וב', מדוע סעיף א' יותר קל מסעיף ב'? נעם ענה שזה בגלל שבסעיף א' נתונה הנקודה "של ההתחלה" כלומר הנקודה על ציר y, ובסעיף ב' צריך קודם למצוא את הנקודה הזאת. זוהי דוגמא לטיפוח רפלקציה, גם אם בסיסית, של התלמידים על עבודתם.

בהמשך הוצג על ידי המורה התרגיל הבא:

מצאו ישר ששיפועו 2 והוא עובר דרך (20,45).

הבעיה שנדונה במליאה - קשה לשרטט את הנקודה כי היא רחוקה (מטרת הספר והמורה - להגיע לפתרון בצורה אלגברית ולא גרפית).

נאוה: נבנה את הצירים ככה שכל משבצת תהיה חמש, וככה נוכל לשרטט.

המורה: הצעה מצוינת. אבל נניח שאין לנו שום אמצעי שרטוט, אנחנו באי בודד.

נעם: עדיין אפשר לשרטט עם האצבע על  החול.

המורה: נכון, אבל תשחקו אתי את המשחק, כאילו שאי אפשר.

המורה הציעה לנחש את המספר שחסר בתבנית  y =2x + ٱ . שלושה תלמידים הציעו את הניחושים 22, 25, 5.  המורה רשמה על הלוח את האפשרויות שהתקבלו עבור משוואת הישר, כלומר:       

y = 2x + 5        y = 2x + 25        y = 2x + 22

לאחר מכן שאלה המורה - איך נוכל לדעת מי מן ההשערות נכונה, איך נוכל לדעת מי מן הישרים עובר בנקודה (20,45)? עבר זמן מה עד שאלעד אמר - זה משהו שהיה במבחן האחרון אבל אני לא זוכר. לבסוף נזכר וצעק: להציב! המורה אישרה שאכן זה מה שעושים כדי לבדוק האם ישר עובר דרך נקודה. התלמידים יחד עם המורה בדקו את שלוש ההשערות וגילו ש-  y = 2x+5  נכונה. כלומר, אפשר לחלץ כלי פעולה לצורך בקרה מן התלמידים עצמם, וכאן תפקיד המורה הוא אכן לא לספק מיד את הכלי, אלא לפנות קודם אל התלמידים בשאלות כמו  - איך אתם מציעים לבדוק, איך נדע מה נכון.   

 

ג. יישום שיטת הניחוש והבדיקה בדפי עבודה.

התלמידים קיבלו דפי עבודה שבהם התבקשו ליישם את שיטת הניחוש והבדיקה, כלומר לנחש מספר תבניות לכל תרגיל ולבדוק על ידי הצבה מי מהן נכונה. למעשה, כל חמשת התלמידים שעבודתם נצפתה מקרוב לא נזקקו למספר ניחושים, משום שהבינו שאפשר להציב ישירות את ערכי הנקודה הנתונה ולגלות את המספר החסר. לאחר מכן עברו לתרגילים "רגילים", דהיינו הפיגום של שיטת הניחוש הוסר באופן רשמי והדרישה היתה למצוא משוואת ישר על פי נקודה ושיפוע על ידי הצבה.  התלמידים ביצעו זאת באופן זורם למדי. עם זאת, במהלך העבודה ניתן היה להבחין בחסרים אריתמטיים; תלמידים התעכבו או התקשו בשאלות כמו:

           ·        -2 כפול -3 זה 6 או -6?

           ·        כמה צריך להוסיף ל- 6 כדי להגיע  ל- 15?

   (תשובת התלמיד הראשונה 7, לאחר מחשבה נוספת תיקן).

           ·        כמה צריך להוסיף ל- -30 כדי לקבל 27?

התקבלו התשובות  3,-3. המורה התייחסה לכך ושאלה שאלה מכוונת: צריך להוסיף יותר משלושים או פחות משלושים? כמו כן המחישה ויזואלית, בתנועת יד באוויר, שאלה שני מספרים משני צדי האפס והמרחק ביניהם גדול יחסית ולא קטן כמו 3. באופן זה סייעה לתלמידים להגיע לתשובה 57. (שיטה זו עזרה מאוחר יותר שוב לנעם כאשר היה צריך למצוא כמה יש להוסיף ל- -65 על מנת לקבל 35. השרטוט של הציר באופן הבא -

35 ________________0_______________________________-65

גרם לתגובה המיידית "אה, אני צריך גם את המרחק הזה וגם את המרחק הזה", וכך מצא שהתשובה היא 100). 

ד. התלמידים שותפים בתכנון שיעורי הבית.

בסוף השיעור ביקשה המורה מכל תלמיד לתרום תרגיל לשיעורי הבית על ידי כך שיאמר נקודה "רחוקה" כלשהי, אליה התאימה המורה את השיפוע (כך שרמת האריתמטיקה לא תהיה קשה מדי). המשימה לתלמידים היתה לחשב את משוואת הישר. המורה פנתה גם אל תלמידים שהיו פסיביים בשיעור. התקבלו  תשעה תרגילים, וירדן אמרה "היום אני כן אעשה שיעורי בית. כשאני מבינה אני אוהבת להכין שיעורי בית".

 

* נעבור כעת לתיאור שיעור נוסף בו צפינו בכיתה זו, שהתרחש כשבועיים לאחר השיעור שתואר לעיל. בשיעור נכחו שמונה תלמידים.

נושא השיעור - שיפועי ישרים מאונכים. בשלב מוקדם יותר למדו התלמידים את הקשר בין שיפועי ישרים מאונכים ותרגלו חישובי זוגות של מספרים המקיימים קשר זה (למשל, 7 ו- 1/2, -1/7 ו- -2).

גם בשיעור זה אפשר היה להבחין בדפוס דומה לזה של השיעור הקודם: עבודה עצמית, דיון במליאה ושוב עבודה עצמית.

בחלק הראשון של השיעור עסקו התלמידים בפתרון עצמאי של תרגילים אשר הדרישה המרכזית בהם, בואריאציות שונות, היתה למצוא משוואת ישר מאונך לישר נתון, העובר דרך נקודה נתונה. המורה הסתובבה בין התלמידים וענתה על שאלות. צפינו באלעד ובירדן, שישבו יחד, במהלך עבודתם. בעוד שאלעד עבד במרץ וסיים את העמוד כולו (לאחר השיעור בדקנו ומצאנו כי תשובותיו נכתבו באופן שוטף ונכון, עם נימוקים המעידים על הבנת  החומר), ירדן נראתה אבודה, וטענה כי אינה יכולה לעבוד מאחר שאינה זוכרת דבר מן החומר הקודם. המראיינת שישבה לידה הזכירה לה מושגים בסיסיים הקשורים לתבניות של ישרים: תחילה הוזכר השיפוע וביטויו הגרפי, מושג אשר ניכר היה כי ירדן  מכירה אותו היטב משום שמיד יכולה היתה ליישמו בשאלת ביניים. לאחר מכן הוזכר האופן בו מוצאים את המספר החופשי בתבנית הישר y = ٱ∙x+ٱ  על ידי איתור נקודת החיתוך שלו עם ציר y. תזכורת זו דרשה זמן וכארבע-חמש דוגמאות. לעומת זאת הקשר בין מספרים שהם שיפועי ישרים מאונכים  - שהוסבר על ידי המורה קודם לכן באותו יום - נשלט על ידי התלמידה ללא קושי. לאחר תזכורת זו היתה ירדן מסוגלת לענות על השאלות.

המקרה של ירדן בשיעור זה מדגים בעיה שמקובל לראות בה את אחד המאפיינים העיקריים של תלמידים חלשים, והיא זיכרון פעיל קצר-טווח (Arcavi, Hadas & Dreyfus, 1994). תלמידים שפתרו בהצלחה שאלות בנושא מסוים, עשויים לשכוח פרטים עקרוניים הקשורים לאותו נושא כמה שיעורים לאחר מכן. במקרה של ירדן, הנושא של מציאת משוואת קו ישר על סמך נקודה ושיפוע נלמד רק שבועיים קודם לכן (זהו השיעור שדווחנו עליו לעיל). לעתים תכופות על המורים בכיתות אלה לנקוט באסטרטגיה של "צעד אחד אחורה ושניים קדימה" על מנת להתקדם בחומר.

חשוב לציין, כי תיאור האפיזודה שלעיל, כמו גם תיאורי אפיזודות אחרות בדו"ח שבהן נעזרו תלמידים במראיינת באופן פרטני, אינם באים לטעון כי עזרה פרטנית מסוג זה עושה פלאים ומביאה את התלמידים מאי הבנה מוחלטת להבנה טובה של החומר. טענה כזו תהיה בבחינת אשליה. הנושאים המתמטיים המדוברים הם מורכבים ורבי ניואנסים, וישנם רצפים של הבנה בכל נושא. רק עשייה מתמשכת ודוגמאות רבות לאורך זמן בונים הבנה משביעת רצון. ברם, המקרה של ירדן מדגיש כי גם אם ההבנה היא חלקית, התמיכה שניתנת לתלמיד עשויה "להזיז" אותו מחוסר מעש מוחלט לתחושה של עשייה מוצלחת,  תחושה שהיא לעתים קרובות המפתח להמשך המעורבות.      

דיון במליאה:

נושא הדיון היה מציאת משוואות של צלעות מלבן. תחילה הציגה המורה מלבן שצלעותיו מקבילות לצירים. היא עשתה זאת על ידי הנחת מלבן קרטון גזור על גבי הצירים המצויירים על הלוח, כמתואר בתרשים 17. התלמידים התבקשו להציע משוואות של ישרים שעליהם לדעתם מונחות צלעות המלבן (הצירים היו נטולי סקלה, כך שמתאפשרות הצעות שונות). חלק מן התלמידים הציעו את המשוואות y=2, y=6, x=4, x=-4. המשוואות נרשמו על הלוח, ואז מצאו התלמידים את קדקודי המלבן וחישבו את אורכו ורוחבו, 8 ו- 4.

 

תרשים 17

לאחר מכן, הזיזה המורה את מלבן הקרטון לפוזיציה אלכסונית כמודגם בתרשים 18.

 


תרשים 18

 

שוב התבקשו התלמידים להציע ארבע תבניות עבור הישרים שעליהם מונחות הצלעות. התקבל ארבע הצעות, אשר כולן נרשמו על ידי המורה על הלוח, תוך ציון שם המציע/ה.

 

 

ההצעה של לימור:

y = 4x+4

y = 4x-3

y = 8x-4

y = 8x-8

ההצעה של לימור מבטאת הבנה של רעיון השיפוע השווה בין מקבילים, אך לא של שיפועי ניצבים. יתכן שנעשה שימוש במספרים 4 ו- 8 בגלל אורך ורוחב המלבן.

 

ההצעה של נאוה:

y = -x-4

y = -x-12

y = 1x+3

y = 1x-1

כאן יש יישום של רעיון השיפועים של ישרים מקבילים וניצבים. נאוה טענה בדיון כי בחרה את המספרים כך שאורך המלבן יישאר 8 ורוחבו 4. אכן, ההפרשים בין המספרים החופשיים בתבניות הם 8 ו- 4. למרות  שנאוה שגתה בהנחתה, שהרי תבניות אלה לא ייצרו אורך של 8 ורוחב של 4 בשל הפוזיציה של המלבן, בכל זאת היתה תשומת לב למימדי המלבן כפי שחושבו בפוזיציה הקודמת. העובדה שנאוה הביאה את האורך והרוחב בחשבון בשיקוליה, יחד עם שיקולי השיפועים המאונכים והמקבילים, מעידה על יכולת לחשיבה על מספר גורמים בו זמנית. נציין כי סיטואציה כזו יכולה לשמש בידי המורה כהזדמנות לצמיחה מתוך שגיאה, כמוצע ע"י סמית' ושותפיו (Smith, diSessa & Roschelle, 1993, ראה בסקירת הספרות). אפשר להראות אילו קטעים בשרטוט הם אכן באורך של 8 ו- 4, תוך השוואת קטעים אלו ויזואלית עם אורך ורוחב המלבן. כך נתפסת התפיסה המוטעה כגרעין שעליו עשוי להיבנות ידע חדש ונכון, במקום כמכשול.

ההצעה של נעם:

y = x-3

y = 2x+5

y = -x-6

y = -2x-8

הצעה זו משקפת בלבול מסוים בין האלמנטים של שיפועים שווים עבור מקבילים, נגדיים והפכיים עבור ניצבים.

 

ההצעה של אלעד:

y = x+2

y = x-1

y = -x-8

y = -x-2

 

ההצעה של אלעד, כמו זו של נאוה, מעידה על הבנת הרעיון המרכזי של הקשר בין שיפועי ישרים במלבן.

ראוי לציין שכל ארבע ההצעות לקחו בחשבון את השרטוט שעל הלוח, מבחינה זו ששלושה מערכי המספרים החופשיים הם שליליים ואחד חיובי.

המורה דנה עם התלמידים על ההצעות, תוך התמקדות בשאלה מדוע יש לתקן את אלה של לימור ונעם.

בחלק האחרון של השיעור חזרו התלמידים לעבודה עצמית. התרגילים שהתבקשו לפתור היו כאלה בהם יש להתבונן  בזוגות של ישרים נתונים ולקבוע האם הם מאונכים או לא, או (בתרגיל אחר) להחליט האם זוגות הישרים הנתונים הם מקבילים, מאונכים או לא זה ולא זה. נעיר, כי לדעתנו החלטת המורה לתת תרגילים מסוג זה בסוף השיעור היתה החלטה אסטרטגית המותאמת לסוג התלמידים: בשלב זה היו התלמידים עייפים וככל הנראה מיצו את יכולתם להיות פעילים, ולכן תרגילים בהם הדרישה העיקרית היא להתבונן ולהסיק מסקנות, ללא חישובים וללא שרטוטים, הם אופציה מועדפת.

בסיום השיעור פנתה המורה לאלעד וציינה את עבודתו היפה במהלך השיעור. למותר לציין כי אלעד עזב את הכתה כשהוא מרוצה מאד. גם נקודה קטנה זו היא חלק בלתי נפרד מהתנהגות תומכת של מורה. 

 

 

לסיכום:

התלמידים בהם צפינו בשיעורים אלה הם בעלי מאפיינים טיפוסיים לתלמידים חלשים במתמטיקה, מאפיינים שנמנו בסקירת הספרות ואשר הצבענו עליהם גם בהקשר לתלמידים שרואיינו באופן אישי: יכולת קשב מוגבלת לזמן קצר, קשיים בהבנת הנקרא, בסיס אריתמטי רעוע, צורך מתמיד בתשומת לב אישית וזיכרון קצר-טווח.     

מן השיעורים בהם צפינו בכיתה זו, אשר שניים מתוכם תועדו לעיל, ניתן להתרשם כי המורה נוקטת באסטרטגיות הוראה וניהול שיעור הלוקחות בחשבון את הצרכים והבעיות המיוחדים של תלמידים מתקשים במתמטיקה. נציין את הבולטות בהן:  

        ·           חלוקת השיעור לקטעים של עבודה עצמית לעומת הסברים או דיון במליאה, לסירוגין. באופן זה הקטעים בהם נדרשים התלמידים לקשב מרוכז הם קצרים יחסית.

        ·           שימוש רב בייצוגים הויזואליים של המושגים הנלמדים, כך שהלמידה תהיה צמודת משמעות גם במהלך יישום  המושגים בתרגילים.

        ·           מתן אפשרות לתלמידים להציע הצעות ולשקול את הצעות חבריהם. ההצעות נרשמות על הלוח תוך ציון שמות המציעים, ודבר זה מעניק ערך מוסף של תשומת לב אישית לתלמידים.

        ·           טיפוח רפלקציה על ידי שאילת שאלות כגון "מה קל יותר, מה קשה יותר, מדוע?" וכדומה.

        ·           חיזוקים חיוביים לתלמידים שעבדו היטב, היוצרים רצון להמשיך ולעבוד.

 

ðלעמוד הבא

לתוכן העניינים

לעמוד הקודם ï